World Socialist Web Site

НА МСВС

Эти и другие сообщения и аналитические обзоры доступны
на английском языке по адресу www.wsws.org

Новости и комментарии
Социальные вопросы
История
Культура
Наука и техника
Философия
Рабочая борьба
Переписка
Трибуна читателя
Четвертый Интернационал
Архив
Что такое МСВС?
Что такое МКЧИ?

Книги

Другие языки
Английский

Немецкий
Французский
Итальянский
Испанский
Индонезийский
Польский
Чешский
Португальский
Сербохорватский
Тамильский
Турецкий
Сингальский

 

МСВС : МСВС/Р : Наука и техника

Версия для распечатки

Российский математик объявляет доказательство знаменитой гипотезы Пуанкаре

Алекс Лефевр
5 июня 2003 г.

В начале апреля 2002 года доктор Григорий Перельман из Института математики им. Стеклова в Санкт-Петербурге прочел серию публичных лекций в Массачусетском Технологическом Институте (США). В этих лекциях он изложил содержание работы, опубликованной им в виде двух статей, а также то, каким образом эта работа ведет к ряду важных математических последствий, включая подтверждение знаменитой гипотезы Пуанкаре. Математики все еще проверяют доводы Перельмана на наличие ошибок, но вплоть до настоящего момента его объяснения выдержали всю критику [1].

[При чтении дальнейшего мы рекомендуем читателям либо держать перед глазами мяч и бублик, либо нарисовать их на бумаге. Это облегчает представление зрительных образов и понимание данной статьи].

Гипотеза Пуанкаре и работа Перельмана относятся к математическим объектам, именуемым многообразиями (manifolds). Грубо говоря, это геометрические объекты, которые «вблизи» выглядят как отрезок прямой (одномерные многообразия), круг на плоскости (двумерные многообразия), шар в сплошном пространстве (трехмерные многообразия) и так далее для пространств более высокой размерности [2].

Поверхность надувного мяча являет собой пример двумерного многообразия: для очень маленького наблюдателя, движущегося по ней, она выглядит плоским диском. Тот факт, что поверхность Земли является двумерным многообразием, а потому «вблизи» выглядит как плоскость, заставил людей на заре истории строить теории о плоской Земле. Однако снимки Земли из космоса показывают, что поверхность Земли является не плоскостью, а сферой.

Из этих двух примеров вытекает очень важная идея эквивалентности. Если бы у нас был бесконечно растяжимый надувной мяч и много воздуха, можно представить его раздувание до такой степени, что его поверхность превратится в поверхность Земли. Математики говорят, что поверхности надувного мяча и Земли топологически эквивалентны.

Однако не все поверхности топологически эквивалентны: например, можно сравнить поверхность мяча и поверхность бублика. Любая петля на поверхности мяча (двумерная сфера) может быть стянута вдоль этой поверхности в точку. Однако петля вокруг дырки от бублика не может быть стянута в точку без отрыва от поверхности. Пуанкаре показал, что из этого вытекает, что поверхности мяча и бублика не являются топологически эквивалентными. В сущности, во времена Пуанкаре была известна красивая классификационная теорема, гласившая, что всякая поверхность, на которой все петли могут быть стянуты в точку, топологически эквивалентна двумерной сфере.

Гипотеза Пуанкаре пытается обобщить это на более высокие размерности, а именно, предполагает, что всякое трехмерное многообразие топологически эквивалентно трехмерной сфере, если все петли на нем могут быть стянуты в точку.

Представить себе трехмерную сферу сложнее. Одномерная сфера (дуга окружности) на плоскости состоит из точек, расположенных на фиксированном расстоянии от заданной. Аналогично, двумерная сфера (поверхность шара) состоит из точек на фиксированном расстоянии от заданной точки в трехмерном пространстве. А трехмерная сфера состоит из точек на фиксированном расстоянии от заданной точки в четырехмерном пространстве.

Гипотеза Пуанкаре оставалась недоказанной на протяжении всего двадцатого столетия. Попытки многих из числа лучших топологов и геометров того времени решить ее закончились неудачей. В математическом мире она приобрела статус, аналогичный статусу Великой теоремы Ферма, недавно доказанной Эндрю Уайльсом (Andrew Wiles). К середине XX столетия аналоги гипотезы Пуанкаре были доказаны в пространствах размерности выше 3. Однако все попытки доказать ее для трехмерного случая потерпели поражение.

Работа Перельмана доказывает гипотезу Пуанкаре путем доказательства гораздо более общее классификационной теоремы, недавней гипотезы геометризации Уильяма Терстона (William Thurston). Эта гипотеза предсказывает, что всякое трехмерное многообразие может быть разделено на куски, каждый из которых может быть растянут и согнут до превращения в одну из восьми заданных геометрических структур.

Изучение этих геометрических структур относится к дифференциальной геометрии — базовому математическому языку общей теории относительности Эйнштейна и области специализации самого Перельмана. В широком смысле, геометрическая структура на многообразии есть способ спецификации поведения кратчайших путей между парами точек данного многообразия.

Вот лишь один пример. На поверхности Земли кратчайший путь между двумя точками (за одну из них возьмем Северный полюс) лежит вдоль меридиана фиксированной долготы. Вот почему воздушный маршрут Нью-Йорк-Токио на плоской карте мира выглядит не прямым отрезком, а вместо этого загибается вверх, на север над Канадой и затем вниз вдоль побережья северо-восточной Азии. Самолет летит приблизительно по (кривому) кратчайшему пути между Нью-Йорком и Токио на поверхности Земли, известному как «маршрут по дуге большого круга».

В минувшем столетии значительная часть усилий дифференциальной геометрии была направлена на установление связей между топологическими свойствами многообразий (т.е. структурой петель на них) и тем, какие типы геометрических поверхностей они могут содержать. Если работа Перельмана действительно доказывает гипотезу геометризации Терстона, то в совокупности с предыдущими результатами это доказывает, что если трехмерное многообразие позволяет стянуть все свои петли в точки, оно содержит геометрическую структуру, которая делает его топологически эквивалентным трехмерной сфере, как и предполагал Пуанкаре.

Усилия Перельмана по разрешению некоторых крупных проблем трехмерной геометрии, захватывающие воображение, особенно примечательны тем, что они имеют место в математической среде, опустошенной крахом Советского Союза. Экономическая «шоковая терапия» в бывшем СССР заставила университеты по всей стране задерживать выплату зарплаты профессорам, что в середине 1990-х привело к массовому выезду квалифицированных математиков из бывшего СССР в университеты развитых стран, особенно США.

Примечания:

1. Статьи Перельмана весьма узкоспециальны и написаны для специалистов по дифференциальной геометрии. Однако они доступны в Интернете на архивном сервере, который математики в настоящее время часто используют для размещения результатов своих исследований. Заинтересованные читатели могут прочесть их на сайтах http://www.arxiv.org/abs/math.DG/0211159 и http://www.arxiv.org/abs/math.DG/0303109.

2. Есть техническая оговорка: для исключения «плохого» поведения мы рассматриваем лишь компактные многообразия — те, что имеют конечные размеры и связаны, т.е. образуют одну область. Другие многообразия довольно легко могут быть получены из них.

К началу страницы

МСВС ждет Ваших комментариев:



© Copyright 1999-2017,
World Socialist Web Site